祖沖之圓周率怎么算出來的?
祖沖之是我國古代著名的數學家和天文學家，他在數學上最重要的成就是把圓周率的小數位史無前例地計算到第七位，這個精度在隨后的800年里一直是世界第一。那時是公元480年，一切都要依靠手工計算的時代(甚至算盤可能還沒有出現)，算個開方都費勁，那么，祖沖之是如何算出精度這么高的圓周率呢?
圓周率并不是通過先作圓，然后量周長和直徑，最后算出來的。因為這樣做的誤差很大，測量誤差不可避免。事實上，古代數學家在很長一段時間里都是用幾何方法來計算圓周率。
祖沖之算圓周率所使用的方法是劉徽發明的割圓術，這與阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通過做圓的外切和內接正多邊形，來計算圓周率的上下限，因為邊數越多的正多邊形越接近于圓。
劉徽的割圓術基于圓的內接正多邊形，他用正多邊形的面積來逼近圓的面積。分割越多，內接正多邊形和圓之間的面積越來越小，兩者越來接近。無限分割之后，內接正多邊形和圓將會合二為一。
在劉徽的方法中，引入了極限和無窮小分割的思想。劉徽的方法更為巧妙，也更為簡潔。劉徽算到了正3072邊形，結果得到的圓周率為3.1416。
祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算到了正24576邊形，并根據劉徽圓周率不等式，確定了圓周率的下限(肭數)為3.1415926，上限(盈數)為3.1415927。并且，祖沖之還順便給出了圓周率的一個近似分數355/113，其前六位都是正確的。
在沒有計算機和算盤的幫助下，祖沖之用算籌來計算乘方和開方，硬生生地把圓周率的小數位算到了第七位，這需要極其巨大的毅力和艱苦卓絕的付出。在祖沖之的努力下，此后800年里，沒有人能夠算出比這精度更高的圓周率。
祖沖之用什么算出圓周率的?
根據《隋書·律歷志》關于圓周率(π)的記載：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數(即過剩的近似值)，為3.1415927;一個是朒數(即不足的近似值)，為3.1415926。
盈朒兩數可以列成不等式，如:3.1415926(*)<π(真實的圓周率)<3.1415927(盈)，這表明圓周率應在盈朒 兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還采用了兩個分數值的圓周率。一個是355/113(約等于3.1415927)，這一個數比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是22/7(約等于3.14)，這一個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。
祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，他的研究適應了當時生產實踐的需要。他親自研究度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。古代有一種量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精確的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了數值。以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數值。
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